Die Umkehrfunktion einer Funktion zu bestimmen ist vom Prinzip her sehr einfach: Man löst die Funktion nach „x“ auf. Hat man das getan, kann man das bisherige „x“ nun „y“ nennen, das bisherige „y“ nennt man „x“ und ist fertig (=Variablentausch). Hier ein paar gängige Beispiele dazu. Streng genommen kann man nur dann eine Funktion umkehren, wenn die Funktionen monoton sind.

Das Schaubild einer Umkehrfunktion erstellt man, indem man das Schaubild der Ausgangsfunktion an der ersten Winkelhalbierenden (y=x) spiegelt. (Man vertaucht also x-Werte und y-Werte“.)

Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert von der Ableitung der normalen Funktion. So weit die Theorie. In der Praxis muss man dann noch aufpassen, dass man bei der Funktion auch tatsächlich die normalen x-Werte nimmt, bei der Umkehrfunktion muss man natürlich die x-Werte der Umkehrfunktion nehmen (also die y-Werte der normalen Funktion) … Eigentlich nicht schwer, manchmal kommt man jedoch durcheinander.

Benötigt man das Rotationsvolumen einer Funktion um die y-Achse, so läßt man die Umkehrfunktion um die x-Achse rotieren. Im Detail: Man benötigt das Volumen, das durch die Rotation um die y-Achse von einer Fläche entsteht. Zuerst bestimmt man die Umkehrfunktion von f(x) und läßt diese Umkehrfunktion nun „ganz normal“ um die x-Achse rotieren. Die Grenzen sind hierbei die y-Werte!! Das erhaltene Volumen ist das gesuchte.

Löst man eine Funktionsgleichung nach „x“ auf, erhält man die Umkehrfunktion (gelegentlich auch „inverse Funktion“ genannt). (Wenn Sie in die Funktion für „y“ eine Zahl einsetzen und dann nach „x“ auflösen, haben Sie das bereits tausendmal gemacht. Wenn Sie die Funktion umkehren (invertieren) ist also nur neu, dass Sie für „y“ nichts einsetzen, sondern stehen lassen.)

Alle Fragen dieser vermischten Aufgaben orientieren sich an häufig auftretenden Abituraufgaben. Man muss den ein- oder anderen Schnittpunkt berechnen, man braucht Flächenberechnung, Rotation einer Fläche um die x-Achse und natürlich will niemand auf eine Extremwertaufgabe verzichten. Der Sinn ist alles möglichst schnell zu rechnen, also (fast) nur mit GTR/CAS, (fast) nichts von Hand.

Alle Fragen dieser vermischten Aufgaben orientieren sich an häufig auftretenden Abituraufgaben. Es ist eine anwendungsorientierte Aufgage, in welcher es um das Profil (den Querschnitt) von einem Flussbett geht. (Übrigens wohnt eine Krabbe drin). Mathematisch gesehen, ist so ein Flussbett ein Prisma. Hauptaufgaben sind: Berechnung einer Fläche; Abstand zweier Punkte und eine recht hässliche Berechnung mit einer Tangente.

Ein grafischer Taschenrechner (GTR) oder ein Computer Algebra System (CAS) erlaubt natürlich Rechnungen, die von Hand niemals möglich sind (oder zumindest nicht in der kurzen Zeit). Wir machen hier ein paar Beispiele zu solchen Rechnungen. Als Schüler/Student ist es Ihre Aufgabe zu wissen, wie man den GTR/CAS bedient (also: Nullstellen berechnen, Gleichungen lösen, Hoch- Tief- und Wendepunkte berechnen, Tangentengleichungen berechnen lassen, Flächen bzw. Integrale berechnen). Falls Sie nicht wissen, wie das ein- oder andere geht, finden Sie auf der Startseite Links zu kurzen Bedienungsanleitungen für alle gängigen GTR und CAS Modelle der Firmen Casio und TI (=Texas Instruments).

Das lineare Wachstum ist sehr, sehr einfach. Es handelt sich hierbei einen Bestand mit einer gleichmäßigen Entwicklung, es kommt also in jeder Zeitspanne immer die gleiche Menge dazu (oder geht weg). Das lineare Wachstum wird durch eine Gerade beschrieben, der Ansatz lautet also: B(t)=m*t+b

Eine Differenzialgleichung (kurz: DGL) ist eine Gleichung in welcher Ableitung und Funktion auftauchen. Eine DGL beschreibt daher einen Zusammenhang zwischen der Änderung des Bestands und dem Bestand selber.

Exponentielles Wachstum ist ein Wachstum, in welchem die Zunahme (oder Abnahme) immer proportional zum Bestand ist, sprich: zum bereits vorhandenen Bestand kommt immer der gleiche prozentuale Anteil dazu (oder geht weg). Standardbeispiel: Zinsen bei der Bank (Zu einem angelegten Kapital kommt immer der gleiche Zinssatz dazu). Typisch für exponentielles Wachstum ist die Verdopplungszeit (bei exponentieller Zunahme) bzw. die Halbwertszeit (bei exponentielles Abnahme). Egal wann man mit der Messung beginnt, es dauert bei jedem Vorgang immer gleich lang, bis sich der Bestand verdoppelt (bzw. halbiert) hat. Exponentialles Wachstum wird durch die Funktionsgleichung f(t)=a*e^(kt) beschrieben.

Die Differenzialgleichung vom exponentiellen Wachstum lautet: f'(t)=k*f(t) und sagt damit aus, dass die Änderung immer proportional zum Bestand ist (falls k=0,05, bedeutet das, dass die Zunahme immer 5% vom Bestand ist). Die Zahl „k“ heißt Proportioanlitätsfaktor oder Wachstumskonstante und taucht auch in der Funktionsgleichung vom exponentiellen Wachstum auf.

Begrenztes Wachstum (=beschränktes Wachstum) wächst am Anfang relativ schnell und nähert sich allmählich und immer langsamer einer Grenze (=Schranke), welche mit G oder S bezeichnet wird. Typische Beispiele für begrenztes Wachstum sind Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgänge, Mischungsverhältnisse (z.B. irgendein Zeug löst sich in Wasser etc.. auf). Allgemein gilt für begrenztes Wachstum, dass immer ein konstanter Wert zum Bestand dazukommt und ein bestimmter Prozentwert weg geht. Die Funktionsgleichung vom begrenztes Wachstum lautet: f(t)=G+a*e^(-k*t). In einiges Aufgaben fällt das Wort „Sättigungsmanko“. Hierbei handelt es sich um den Wert, um welchen der Bestand überhaupt noch zunehmen kann, also um die Differenz zwischen Grenze und aktuellem Bestand.

Die Differenzialgleichung vom begrenzten Wachstum (=beschränkten Wachstum) lautet: f'(t)=k*(G-f(t)). f'(t) ist die Zunahme (oder Abnahme) des Bestandes, G-f(t) heißt Sättigungsmanko und ist der Wert um welchen der Bestand noch zu- oder abnehmen kann (also die Differenz von Grenze und aktuellem Bestand). Damit sagt die Differenzialgleichung aus, dass die momentane Änderung des Bestands proportional zum Sättigungsmanko ist. Die Parameter „k“ und „G“ tauchen auch in der Funktionsgleichung auf und heißen: k=Wachstumsfaktor=Proportionalitätsfaktor, G=Grenze=S=Schranke.

Logistisches Wachstum beschreibt die meisten Wachstumsprozesse aus unserer Umwelt. Eigentlich wird fast jedes Wachstum welches irgendwie mit Lebewesen zu tun hat, durch logistisches Wacshtum beschrieben. Das kann das Wachstum von Pflanzen sein, Bevölkerungswachstum, Entwicklung einer Population, etc.. Für die Funktionsgleichung vom logistischen Wachstum gibt es leider recht viele Möglichkeiten. f(t)=b/(c+e^(-k*G*t)) oder f(t)=(a*G)/(a+(G-a)*e^(-k*G*t)). Wir werden hier mit der zweiten Variante rechnen, da in dieser Variante alle Parameter eine Bedeutung haben: a=Anfangswert, G=Grenze, k=Wachstumskonstante.

Die Differenzialgleichung vom logistischen Wachstum lautet: f'(t)=k*f(t)*(G-f(t)). f'(t) ist die Zunahme (oder Abnahme) des Bestandes, G-f(t) heißt Sättigungsmanko und ist der Wert um welchen der Bestand noch zu- oder abnehmen kann (also die Differenz von Grenze und aktuellem Bestand). Damit sagt die Differenzialgleichung aus, dass die momentane Änderung des Bestands proportional zum zum aktuellen Bestand und zum Sättigungsmanko ist. Die Parameter „k“ und „G“ tauchen auch in der Funktionsgleichung auf und heißen: k=Wachstumsfaktor=Proportionalitätsfaktor, G=Grenze=S=Schranke.

Berechnungen zu Wachstum, bzw. Wachstumsprozesse beschäftigen sich mit der Entwicklung von einem Bestand. Eine wichtige Idee dabei ist, dass die Änderung des Bestands (also Zunahme und Abnahme ) die Ableitung des Bestands ist. Es gibt unendlich viele Sorten von Wachstum im Universum, jedoch nur vier davon haben einen Namen und sind, mathematisch gesehen, wichtig. 1.Lineares Wachstum, 2.Exponentielles Wachstum, 3.Begrenztes Wachstum, 4.Logistisches Wachstum. Vermutlich werden Sie nicht alle vier Wachstumssorten brauchen.

Bei ganz vielen Aufgaben geht es einen Bestand (z.B. eine Temperatur, eine Wassermenge im Behälter, …) und die Änderung von diesem Bestand (die Temperaturzu- oder -abnahme, die Zunahme vom Wasserbestand oder dessen Abnahme,...). Nun geht es darum, dass die Funktion, die die Änderung beschreibt, die Ableitung der Bestandsfunktion ist. Sie werden es nicht gauben: aus dieser simplen Idee kann man komplette Aufgaben erstellen.

Oft ist eine Funktion in Anhängigkeit von Parametern gegeben. Nun hat man die ein- oder andere Bedingung gegeben mit deren Hilfe man die Parameter bestimmen kann. Das Ganze nennt man Funktionsanpassung. Vermutlich kann man es auch „sy