Es gibt eine recht einfache Methode, den Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen zu berechnen. Leider ist die Formel etwas unschön. Zuerst berechnet man den Schnittpunkt beider Funktionen (falls man ihn nicht schon hat). Danach berechnet man die Steigungen beider Funktionen in diesem Punkt (über die erste Ableitung). Danach kann man den Winkel alpha mit der Schnittwinkelformel bestimmen: tan(alpha)=(m2-m1)/(1+m1*m2).

Die gegenseitige Lage von zwei Funktionen lässt sich auf zwei wichtige Sonderfälle zurückführen: 1.beide Funktionen berühren sich, 2.beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (orthogonal). Ist beides nicht der Fall, so gibt es irgendeinen Schnittwinkel. (Es kann natürlich auch sein, dass sich beide Funktionen GAR nicht schneiden, das ist aber mathematisch gesehen, nicht unbedingt der interessanteste Fall.)

Man streckt eine Funktion um den Faktor „c“ in y-Richtung, indem man die Funktion mit dieser Zahl „c“ multipliziert. (Aus „f(x)“ wird „c*f(x)“). Man streckt eine Funktion um den Faktor „d“ in x-Richtung, indem man jeden Buchstaben „x“ der Funktion durch „x/d“ ersetzt. (Aus „x“ wird „x/d“). Ist ein Streckfaktor kleiner als 1, nennt man den Vorgang „stauchen“. Ist ein Streckfaktor negativ, wird die Funktion zusätzlich noch an der x bzw. y-Achse gespiegelt.

Man spiegelt eine Funktion an der y-Achse, indem man jede Variable „x“ der Funktion durch „-x“ ersetzt. Man spiegelt ein Funktion an der x-Achse, indem man vor die Funktion ein Minus setzt (aus „f(x)“ wird „-f(x)“). Man spiegelt eine Funktion am Ursprung, indem man eine Achsenspiegelung an der x-Achse und an der y-Achse vornimmt. Benötigt man Spiegelungen nicht an x- oder y-Achse sondern an Parallelen dazu, bzw. nicht am Ursprung, sondern an anderen Punkten, sollte man die Funktionen zusätzlich vorher geschickt verschieben, dann spiegeln und zum Schluss wieder zurückverschieben.

Man spiegelt eine Funktion an der y-Achse, indem man jede Variable „x“ der Funktion durch „-x“ ersetzt. Man spiegelt ein Funktion an der x-Achse, indem man vor die Funktion ein Minus setzt (aus „f(x)“ wird „-f(x)“). Man spiegelt eine Funktion am Ursprung, indem man eine Achsenspiegelung an der x-Achse und an der y-Achse vornimmt. Benötigt man Spiegelungen nicht an der x-Achse, sondern an einer waagerechten Parallelen y=b, ist die gesuchte Funktion: g(x)=2b-f(x). Spiegelt man die Funktion an einer senkrechten Parallelen zur y-Achse der Form x=a, wird in der Funktion f(x) jeder Buchstabe „x“ ersetzt durch „2a-x“. Spiegelt man eine Funktion an einem Punkt S(a|b), so entspricht das einer Spiegelung an der senkrechten Gerade x=a UND an der waagerechten Gerade y=b.

Zwei Funktionen heißen „ähnlich“, wenn man eine durch Strecken, Spiegeln oder Verschieben in die andere überführen (=umwandeln) kann. Es gibt für das Strecken, das Spiegeln und das Verschieben von Funktionen je eine mathematische Vorgehenweise, welche sich zu merken lohnt.

Ortskurven (oder Ortslinien) gibt es nur bei Funktionsscharen. Aber was sind Ortskurven überhaupt? Eine Funktionenschar besteht aus unendlich vielen Funktionen (für jeden Wert des Parameters gibt’s eine Funktion). Alle Hochpunkte dieser Funktionen liegen auf einer neuen Kurve, nämlich der Ortskurve der Hochpunkte. Das Gleiche gilt auch für Tiefpunkte, Wendepunkte und Sonstiges. (Geschwollen formuliert: die Ortkurve aller Extrem- und Wendepunkte ist der „geometrische Ort aller Extrem- und Wendepunkte“.) Um eine Ortskurve zu bestimmen, braucht man zuerst die Koordinaten des entsprechenden Punktes in Abhängigkeit vom Parameter. Danach ist´s einfach: in der „x“-Gleichung nach dem Parameter auflösen und in die „y“-Gleichung einsetzen.

Wir behandeln hier verschiedene Fragestellungen, die spezifisch für Kurvenscharen sind. Die eigentliche Funktionsanalyse (= Funktionsuntersuchung = Kurvendiskussion) machen wir hier nicht, wir übernehmen alle notwendigen Zwischenergebnisse aus Kapitel 1.9

Wir behandeln hier verschiedene Fragestellungen, die spezifisch für Kurvenscharen sind und lösen diese ausnahmslos mit dem CAS. Die eigentliche Funktionsanalyse (= Funktionsuntersuchung = Kurvendiskussion) machen wir hier nicht, wir übernehmen alle notwendigen Zwischenergebnisse aus Kapitel 1.9

Eine Funktion ist „abschnittsweise definiert“, wenn bis zu einem x-Wert eine ganz bestimmte Funktion gilt, ab diesem x-Wert dann eine andere Funktion gilt. Abschnittsweise definierte Funktionen eignen sich hervorragend für Aufgabenstellungen zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

„Knickfrei“ ist ein Schlüsselwort, welches man für Prüfungsaufgaben kennen sollte. Es geht meist um zwei Funktionen, die bei einem bestimmten x-Wert zusammentreffen. Der Übergang beider Funktionen verläuft knickfrei, wenn (bei diesem x-Wert) die y-Werte gleich sind, die Ergebnisse der ersten Ableitungen und die der zweiten Ableitungen. In der Mathematik hat das Wort „knickfrei“ keine besondere Bedeutung, sollten Sie zu diesem Problemstellung was suchen, verwenden Sie statt dessen den Begriff „zweimal differenzierbar“.

Eine Funktion ist stetig, wenn sie NICHT springt, also kontinuierlich verläuft, wenn man sie also zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. Eine Funktion ist differenzierbar (teils sieht man auch die Schreibweise „differentierbar“), wenn sie KEINEN Knick aufweist, wenn sie also überall glatt verläuft. Man kann auch sagen, eine Funktion ist differenzierbar wenn die Funktion UND die ersten Ableitung stetig sind. (Die Funktion ist zweimal differenzierbar, wenn Funktion, erste und zweite Ableitung stetig ist).

Eine lineare Ungleichung ist eine Ungleichung, in der nur „x“ vorkommt. Kein „x²“ oder höhere Potenzen, keine Brüche, keine Wurzeln. Es handelt sich um eine recht einfache Angelegenheit. Alles, was ein „x“ hat, kommt auf die linke Seite, alles ohne „x“ auf die rechte Seite. Teilt man durch etwas Negatives, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Eine „höhere Ungleichung“ oder eine „Ungleichung höherer Ordnung“ ist eine Ungleichung, in welcher höhere Potenzen von „x“ auftauchen. Eigentlich gibt es nur eine gute Lösungsmöglichkeit.

Wenn Ungleichungen anfangen hässlich zu werden, ist das meist mit Brüchen verbunden. Man braucht im Normalfall eine Fallunterscheidung (oder mehrere). Alles nicht schön. Man kann die Fallunterscheidungen umgehen, wenn man alle Zähler- und alle Nennernullstellen berechnet, diese als Intervallgrenzen verwendet und nun für jedes entstandene Intervall prüft, ob die Ungleichung stimmt. (Letzteres tut man, indem man für jedes Intervall eine Zahl aus diesem Intervall in die Ungleichung einsetzt und schaut, ob man eine wahre Aussage oder einen Widerspruch erhält.)

Eine Ungleichung hat kein Gleich-Zeichen, sondern ein Ungleichheits-Zeichen, also ein „Kleiner“ oder ein „Größer“-Zeichen (bzw. „kleinergleich“ oder „größergleich“). Man behandelt Ungleichungen genau wie Gleichungen, nur dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl teilt.

Eine wichtige Aufgabe ist oft, Schaubildern ihre Funktionen zuzuordnen. Meist sieht es so aus, dass man mehrere Schaubilder gegeben hat und dass mehrere Funktionsgleichungen gegeben sind. Nun muss man die Funktionsgleichungen den Schaubildern zuordnen. Es hilft unheimlich, die Schaubilder der Standardfunktionen zu kennen.

Es gibt eine relativ gute Methode, das Schaubild einer Ableitungsfunktion zu zeichnen: man zeichnet in einem beliebigen Punkt eine Tangente und misst deren Steigung. Die Steigung der Tangente ist der y-Wert der Ableitungsfunktion. Leider ist diese Methode nicht die schnellste. Die Methode über die sogenannte „NEW“-Tabelle ist schneller, funktioniert aber bei manchen Schaubildern schlecht. Das Schaubild einer Stammfunktion zu zeichnen ist ein kleines bisschen umständlicher. Hier ein paar Beispiele zum Ableitung skizzieren und zum Stammfunktion skizzieren.

Gegeben ist das Schaubild einer Ableitungsfunktion. Man muss nun bestimmte Aussagen über die Stammfunktion treffen. Manchmal sind auch ein paar Aussagen gegeben und man muss entscheiden, ob die wahr, falsch oder unentscheidbar sind. Man kann die Stammfunktion SKIZZIEREN (also die Ableitung grafisch aufleiten) oder man denk ein bisschen um die Ecke.

Es gibt im Wesentlichen drei Typen von Fragen rund um Schaubilder in den vier Quadranten: 1.verschiedene Schaubilder und verschiedene Funktionsgleichungen sind gegeben und man muss die einzelnen Schaubilder den einzelnen Funktionen zuordnen. 2.nur ein Schaubild ist gegeben und man muss die Funktionsgleichung finden, die dazu passt. (Manchmal ist auch eine Funktion in Abhängigkeit von mehreren Parametern gegeben und nun muss man die Parameter bestimmen). 3.Das Schaubild einer Funktion ist gegeben und man muss das Schaubild der Ableitungsfunktion oder der Stammfunktion zeichnen.