Der Abstand eines Punkt P zu einer Funktion f(x) ist natürlich der KLEINSTE Abstand von diesem Punkt zur Funktion. Man stellt den Abstand des Punktes P zum beliebigen Punkt P(u|f(u)) mit Hilfe der Abstandsformel auf und erhält den Abstand in Abhängigkeit vom Parameter u. Diesen Abstand gibt man als Funktion in den GTR/CAS ein und bestimmt das Minimum. (Abstand Punkt Funktion sieht man in den letzten Jahren häufiger).

Leider gehören viele der Extremwertaufgaben nicht zu den letztgenannten Standardfällen. Viele der Extremwertaufgaben sind immer wieder neue, hässliche Typen. Hier ein Versuch ein paar davon vorzurechnen. In den Beispielen geht es um die Fläche von einem beliebigen Dreieck, Fläche vom Trapez und zwei senkrechten Geraden die aus einer Fläche einen Streifen ausschneiden.

Unter Extremwertaufgaben werden alle Aufgaben gefasst, in denen etwas am größten oder am kleinsten werden soll (eine Dreiecksfläche, ein Volumen, ein Abstand). Es gibt zur Zeit mehrere Standardaufgaben von so einer Maximierung (oder Minimierung). Diese werden hier vorgerechnet.

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).

Sucht man den Schnittwinkel zweier Funktionen, kann man das über den Steigungswinkel der Funktionen berechnen. Das geht so: 1.zuerst braucht man natürlich den Schnittpunkt, vor allem dessen x-Wert (nennen wir ihn xS). 2.Nun stellt man sich eine waagerechte Gerade durch diesen Schnittpunkt vor und berechnet für jede der beiden Funktionen den Steigungswinkel im Schnittpunkt (also den Winkel zwischen Funktion und waagerechter Geraden). Das geht, indem man über die Ableitung zuerst die Steigung im Schnittpunkt berechnet und dann über m=tan(alpha) den Steigungswinkel alpha. 3.Im letzten Schritt rechnet man beide Winkel zusammen (also addieren oder subtrahieren, je nachdem ob die Funktionen steigen oder fallen [Vorzeichen der Steigung betrachten!])

Es gibt eine recht einfache Methode, den Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen zu berechnen. Leider ist die Formel etwas unschön. Zuerst berechnet man den Schnittpunkt beider Funktionen (falls man ihn nicht schon hat). Danach berechnet man die Steigungen beider Funktionen in diesem Punkt (über die erste Ableitung). Danach kann man den Winkel alpha mit der Schnittwinkelformel bestimmen: tan(alpha)=(m2-m1)/(1+m1*m2).

Die gegenseitige Lage von zwei Funktionen lässt sich auf zwei wichtige Sonderfälle zurückführen: 1.beide Funktionen berühren sich, 2.beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (orthogonal). Ist beides nicht der Fall, so gibt es irgendeinen Schnittwinkel. (Es kann natürlich auch sein, dass sich beide Funktionen GAR nicht schneiden, das ist aber mathematisch gesehen, nicht unbedingt der interessanteste Fall.)

Man streckt eine Funktion um den Faktor „c“ in y-Richtung, indem man die Funktion mit dieser Zahl „c“ multipliziert. (Aus „f(x)“ wird „c*f(x)“). Man streckt eine Funktion um den Faktor „d“ in x-Richtung, indem man jeden Buchstaben „x“ der Funktion durch „x/d“ ersetzt. (Aus „x“ wird „x/d“). Ist ein Streckfaktor kleiner als 1, nennt man den Vorgang „stauchen“. Ist ein Streckfaktor negativ, wird die Funktion zusätzlich noch an der x bzw. y-Achse gespiegelt.

Man spiegelt eine Funktion an der y-Achse, indem man jede Variable „x“ der Funktion durch „-x“ ersetzt. Man spiegelt ein Funktion an der x-Achse, indem man vor die Funktion ein Minus setzt (aus „f(x)“ wird „-f(x)“). Man spiegelt eine Funktion am Ursprung, indem man eine Achsenspiegelung an der x-Achse und an der y-Achse vornimmt. Benötigt man Spiegelungen nicht an x- oder y-Achse sondern an Parallelen dazu, bzw. nicht am Ursprung, sondern an anderen Punkten, sollte man die Funktionen zusätzlich vorher geschickt verschieben, dann spiegeln und zum Schluss wieder zurückverschieben.

Man spiegelt eine Funktion an der y-Achse, indem man jede Variable „x“ der Funktion durch „-x“ ersetzt. Man spiegelt ein Funktion an der x-Achse, indem man vor die Funktion ein Minus setzt (aus „f(x)“ wird „-f(x)“). Man spiegelt eine Funktion am Ursprung, indem man eine Achsenspiegelung an der x-Achse und an der y-Achse vornimmt. Benötigt man Spiegelungen nicht an der x-Achse, sondern an einer waagerechten Parallelen y=b, ist die gesuchte Funktion: g(x)=2b-f(x). Spiegelt man die Funktion an einer senkrechten Parallelen zur y-Achse der Form x=a, wird in der Funktion f(x) jeder Buchstabe „x“ ersetzt durch „2a-x“. Spiegelt man eine Funktion an einem Punkt S(a|b), so entspricht das einer Spiegelung an der senkrechten Gerade x=a UND an der waagerechten Gerade y=b.

Zwei Funktionen heißen „ähnlich“, wenn man eine durch Strecken, Spiegeln oder Verschieben in die andere überführen (=umwandeln) kann. Es gibt für das Strecken, das Spiegeln und das Verschieben von Funktionen je eine mathematische Vorgehenweise, welche sich zu merken lohnt.

Ortskurven (oder Ortslinien) gibt es nur bei Funktionsscharen. Aber was sind Ortskurven überhaupt? Eine Funktionenschar besteht aus unendlich vielen Funktionen (für jeden Wert des Parameters gibt’s eine Funktion). Alle Hochpunkte dieser Funktionen liegen auf einer neuen Kurve, nämlich der Ortskurve der Hochpunkte. Das Gleiche gilt auch für Tiefpunkte, Wendepunkte und Sonstiges. (Geschwollen formuliert: die Ortkurve aller Extrem- und Wendepunkte ist der „geometrische Ort aller Extrem- und Wendepunkte“.) Um eine Ortskurve zu bestimmen, braucht man zuerst die Koordinaten des entsprechenden Punktes in Abhängigkeit vom Parameter. Danach ist´s einfach: in der „x“-Gleichung nach dem Parameter auflösen und in die „y“-Gleichung einsetzen.

Wir behandeln hier verschiedene Fragestellungen, die spezifisch für Kurvenscharen sind. Die eigentliche Funktionsanalyse (= Funktionsuntersuchung = Kurvendiskussion) machen wir hier nicht, wir übernehmen alle notwendigen Zwischenergebnisse aus Kapitel 1.9

Wir behandeln hier verschiedene Fragestellungen, die spezifisch für Kurvenscharen sind und lösen diese ausnahmslos mit dem CAS. Die eigentliche Funktionsanalyse (= Funktionsuntersuchung = Kurvendiskussion) machen wir hier nicht, wir übernehmen alle notwendigen Zwischenergebnisse aus Kapitel 1.9

Eine Funktion ist „abschnittsweise definiert“, wenn bis zu einem x-Wert eine ganz bestimmte Funktion gilt, ab diesem x-Wert dann eine andere Funktion gilt. Abschnittsweise definierte Funktionen eignen sich hervorragend für Aufgabenstellungen zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

„Knickfrei“ ist ein Schlüsselwort, welches man für Prüfungsaufgaben kennen sollte. Es geht meist um zwei Funktionen, die bei einem bestimmten x-Wert zusammentreffen. Der Übergang beider Funktionen verläuft knickfrei, wenn (bei diesem x-Wert) die y-Werte gleich sind, die Ergebnisse der ersten Ableitungen und die der zweiten Ableitungen. In der Mathematik hat das Wort „knickfrei“ keine besondere Bedeutung, sollten Sie zu diesem Problemstellung was suchen, verwenden Sie statt dessen den Begriff „zweimal differenzierbar“.

Eine Funktion ist stetig, wenn sie NICHT springt, also kontinuierlich verläuft, wenn man sie also zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. Eine Funktion ist differenzierbar (teils sieht man auch die Schreibweise „differentierbar“), wenn sie KEINEN Knick aufweist, wenn sie also überall glatt verläuft. Man kann auch sagen, eine Funktion ist differenzierbar wenn die Funktion UND die ersten Ableitung stetig sind. (Die Funktion ist zweimal differenzierbar, wenn Funktion, erste und zweite Ableitung stetig ist).

Eine lineare Ungleichung ist eine Ungleichung, in der nur „x“ vorkommt. Kein „x²“ oder höhere Potenzen, keine Brüche, keine Wurzeln. Es handelt sich um eine recht einfache Angelegenheit. Alles, was ein „x“ hat, kommt auf die linke Seite, alles ohne „x“ auf die rechte Seite. Teilt man durch etwas Negatives, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Eine „höhere Ungleichung“ oder eine „Ungleichung höherer Ordnung“ ist eine Ungleichung, in welcher höhere Potenzen von „x“ auftauchen. Eigentlich gibt es nur eine gute Lösungsmöglichkeit.

Wenn Ungleichungen anfangen hässlich zu werden, ist das meist mit Brüchen verbunden. Man braucht im Normalfall eine Fallunterscheidung (oder mehrere). Alles nicht schön. Man kann die Fallunterscheidungen umgehen, wenn man alle Zähler- und alle Nennernullstellen berechnet, diese als Intervallgrenzen verwendet und nun für jedes entstandene Intervall prüft, ob die Ungleichung stimmt. (Letzteres tut man, indem man für jedes Intervall eine Zahl aus diesem Intervall in die Ungleichung einsetzt und schaut, ob man eine wahre Aussage oder einen Widerspruch erhält.)