Die meisten Aufgaben kann man in der Wahrscheinlichkeit ohne Formeln bzw. mit sehr wenig Formeln lösen (man muss leider dafür mehr nachdenken). Für einiges braucht man jedoch sehr wohl Formeln. Zu den wichtigsten gehören: der Additionssatz, stochastische Abhängigkeit/Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes, Erwartungswert (und ggf Tschebyschew-Ungleichung).

Eine der Aufgaben, die seit vielen Jahren in immer unveränderter Form auftaucht, ist die sogenannte „Drei Mal Mindestens Aufgabe“. Man erkennt sie natürlich daran, dass in der Aufgabe drei Mal das Wort „Mindestens“ oder Synonyme auftauchen. Theoretisch kann man die Aufgabe auswendig lernen, denn der Verlauf der Rechnung ist tatsächlich von vorne bis hinten immer gleich.

Eine totale Wahrscheinlichkeit ist eine Wahrscheinlichkeit, die sich aus mehreren Fällen zusammensetzt. Z.B. wenn man die W.S. berechnen will, dass eine Person Schmuck trägt, setzt sich das aus der W.S. zusammen, dass eine Frau schmuck trägt, plus der W.S., dass ein Mann Schmuck trägt.

Laplace war ein Mathematiker, sehr in recht vielen Bereichen tätig war. Der Begriff „Laplace“ taucht also auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie häufig und mit unterschiedlichen Bedeutungen(!) auf.

Es gibt einige Rechnungen in der Wahrscheinlichkeit für welche man kaum irgendwelche Formeln benötigt, die aber häufig nach der immer gleichen Struktur ablaufen. Dadurch kann man diese Aufgaben „lernen“. Die wichtigsten davon sind die „Drei Mal Mindestens Aufgabe“ sowie Aufgaben rund um die „Totale Wahrscheinlichkeit“.

Die Binomialverteilung setzt sich aus drei Teilen zusammen. Zum einen der Binomialkoeffizient (der die Vertauschungsmöglichkeiten angibt), die W.S. der ersten Möglichkeit hoch der Anzahl davon, sowie die W.S. der zweiten Möglichkeit hoch der Anzahl davon. Als Formel: Sei n die Gesamtanzahl aller Züge, k sei die Anzahl der gewünschten Treffer, p die Wahrscheinlichkeit, dass EIN Treffer eintritt. Die Wahrscheinlichkeit für „k“ Treffer ist: (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung lässt sich bei der Binomialverteilung sehr, sehr einfach berechnen: E(x)=n*p, Var=n*p*(1-p) und die Standardabweichung ist wie immer die Wurzel aus der Varianz.

Die Binomialverteilung berechnet man mit einem GTR oder einem CAS mit einem einfachen Befehl: „binompdf(n,p,k)“. Hierbei ist „n“ die Gesamtanzahl aller Züge, k ist die Anzahl der gewünschten Treffer, p ist die W.S. eines einzelnen Treffers. Will man die Summe aller Treffer von „0“ bis „k“ haben, kann man den Befehl „binomcdf(n,p,k)“ verwendet.

Die Binomialverteilung gehört zu den wichtigsten Verteilungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Eigentlich die wichtigste bei einer diskreten Wahrscheinlichkeit). Man wendet sie an, wenn es nur zwei möglichen Ausgänge gibt und wenn sich die Wahrscheinlichkeit nie ändert (Ziehen mit Zurücklegen). Sie beantwortet die Frage nach der W.S. eine ganz bestimmte Anzahl von Treffern zu erzielen.

Wir unterteilen die Gesamtheit in drei Gruppen. Hier: die Gruppe der Mädels, der Jungs und der Ungeschlechtlichen. Wir wissen aus wieviel Elementen die einzelnen Gruppen besteht und wir werden für jede Frage wissen, wieviel aus jeder Gruppe gezogen werden. Da kein Schüler zweimal ausgesucht werden kann, haben wir „Ziehen ohne Zurücklegen“. Alle Voraussetzungen für die hypergeometrische Verteilung sind erfüllt. In der Formel steht unten (im Nenner) ein Binomialkoeffizient, der die GESAMTanzahl aller Schüler enthält und die GESAMTanzahl jener Schüler, die ausgesucht werden. Oben (im Zähler) steht für jede Gruppe ein Binomialkoeffizient mit jeweils der Anzahl der Gruppenmitglieder und der Anzahl jener, die hiervon ausgesucht werden.

Eine Standardanwendung der hypergeometrischen Verteilung: das Lottoproblem. Beim normalen Lotto hat man insgesamt 49 Kugeln, 6 davon werden von der Lottogesellschaft als „Richtige“ ausgesucht werden. Für die Rechnung unterteilt man die 49 Zahlen daher in die Gruppe der 6 Richtigen und 43 Falschen. Wenn nun die W.S. von einer bestimmten Zahl von Richtigen gefragt ist, kann man nun diese Anzahl aus der Gruppe der Richtigen ziehen und den Rest aus der Gruppe der Falschen. Selbstverständlich kann man mit den erhaltenen Wahrscheinlichkeiten noch weiter rechnen. Es könnten Fragen zum Erwartungswert, bedingter W.S., oder sonst allem Möglichen auftauchen. (In dieser Aufgabe brauchen wir nur den Erwartungswert).

Beim Ziehen ohne Zurücklegen kann man meistens die sogenannte hypergeometrische Verteilung verwenden. Voraussetzung ist, dass man genau weiß, aus welcher Anzahl sich die einzelnen Gruppen zusammensetzen und wieviel Stück man aus jeder der vorhandenen Untergruppen ziehen will. (Standardbeispiel: In einer Urne sind viele Kugeln in mehreren Farben. Man muss genau wissen, wieviel von jeder Farbe vorhanden ist und man muss genau wissen, wieviel Kugeln von jeder Farbe gezogen werden soll.) Die Formel setzt sich nur aus mehreren Binomialkoeffizienten zusammen. Standardbeispiele sind: Kugeln verschiedener Farben aus einer Urne entnehmen und Lotto.

Bei stetigen Verteilungen (bei Verteilungen, in denen jede beliebige Kommazahl angenommen werden kann) berechnet man immer nur eine Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Grenzen. Diese W.S. berechnet mal als Integral, wobei die Integralgrenzen die eben genannten Grenzen sind. Die Funktion, die man dafür braucht, ist die Normal-Verteilung, die die Gaussche Glockenkurve beschreibt. (Ganz witzig: Diese Formel steht auf dem alten Zehn-Mark-Schein). Dieser Weg ist zwar recht anschaulich, leider ist die Durchführung nur mit Computerprogrammen oder grafischen Taschenrechnern möglich. Üblicherweise wird ein Rechenweg über die Standard-Normal-Verteilung gewählt. Dieses Kapitel dient also eher dem Verständnis, und ist nicht dafür da um tolle Rechenwege zu präsentieren.

Die Standard-Normal-Verteilung (=SNV) ist eine besondere Verteilung: Der Mittelwert der SNV ist immer Null, die gesamte Fläche zwischen der zugehörigen Funktion und der x-Achse ist 1. Natürlich beschreibt die Funktion der SNV die Gauß´sche Glockenkurve (so wie jede Normalverteilung auch).

Gelegentlich muss man die Binomialverteilung durch die Gaußverteilung annähern. (Vor allem wenn die Zahlen so groß sind, dass jeder Taschenrechner aussteigt [das geht relativ schnell]). Das geht unter der Bedingung, dass die Standardabweichung größer als 3 ist. Ist das der Fall, kann die Annäherung durchgeführt werden, d.h. statt der Binomialverteilung verwendet man nun die Standard-Normal-Verteilung (=SNV). Die SNV taucht auch unter dem Namen „Phi-Funktion“ oder „Gauß´sche Fehlerfunktion“. Der ganze Prozess der Annäherung heißt: „Näherungsformel von Moivre-Laplace“ oder „Satz von Moivre-Laplace“ oder „Laplace-Formel“.

Die Mehrzahl der zufälligen Ereignisse im Universum sind normalverteilt. Diese Verteilung wird durch eine Funktion beschrieben, durch die Gauß´sche Glockenkurve (das ist nichts Anzügliches). Das Schöne daran ist, dass man (um diese Funktion aufzustellen) nur den Erwartungswert und die Standardabweichung braucht. Man verwendet die Normalverteilung nur bei stetigen Ereignissen (d.h. beliebige Kommazahlen müssen Sinn ergeben). Leider hat die Normalverteilung den Nachteil, dass man auf rechnerischem Weg recht schwer zur Wahrscheinlichkeit kommt. Daher verwendet man Tabellen dazu. Die Hauptanwendung der Normalverteilung in Schule und Studium ist wohl die „Umwandlung“ der Binomialverteilung in die Normalverteilung (Unterkapitel 6.9.4 „Näherungsformel von Moivre-Laplace“)

„Stochastik“ ist der Oberbegriff für „Statistik“ und „Wahrscheinlichkeitsrechnung“. Der Übergang von Statistik und Wahrscheinlichkeit ist fließend, d.h. es gibt viele gemeinsame Bereiche, die schwer nur dem einen oder dem anderen zuzuordnen sind. Die Statistik beschäftigt sich tendenziell eher mit dem Sammeln von Daten und dem Versuch diese sinnvoll zu struktuieren. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung geht davon aus, dass man bereits Fakten kennt und versucht Vorhersagen zu treffen. (Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen die Körpergröße der Gesamtbevölkerung ermitteln. Zuerst sammeln wir Daten von vielen Leuten (wahrscheinlich von mehrere Tausend). Mit Hilfe der Statistik können wir dann z.B. sagen: 30% der Bevölkerung sind kleiner als 170cm. Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann ich dann komplexere Aussagen treffen, z.B. mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einem Grüppchen von 18 Personen alle zwischen 165cm und 175cm?) Viele Schüler/Studenten mögen Stochastik anfangs nicht, da man nicht so arg nach „Schema F“ gehen kann, wie in den meisten anderen mathematischen Bereichen. Bei vielen Aufgaben muss man schlichtweg „denken“ und sich fragen, was in der Aufgabe eigentlich passiert und wie man das Ganze angehen könnte. Stochastik wird in allen Berufen und Wirtschaftszweigen immer wichtiger und gewinnt daher in den letzten Jahren auch in der Schule und Hochschule SEHR stark an Bedeutung.

Setzt man einen x-Wert in die Funktionsgleichung f(x) ein, erhält man den y-Wert der Funktion in diesem Punkt. So kann man alle y-Werte berechnen. Der y-Wert heißt auch einfach nur „Wert der Funktion“ in dem Punkt. Bei anwendungsorientierten Funktion sind die y-Werte meist der vorhandene Bestand.

Setzt man einen x-Wert in die erste Ableitung f'(x) ein, kann man die Steigung der Funktion berechnen in diesem Punkt. Diese Steigung ist auch die Tangentensteigung bzw. momentane Änderungsrate f'(x)=m. Bei anwendungsorientierten Funktion ist die Steigung oft die Änderung / Zunahme / Abnahme des Bestands.

Krümmung berechnen: Setzt man einen x-Wert in die zweite Ableitung f'(x) ein, kann man die Krümmung der Funktion berechnen in diesem Punkt. Ist das Ergebnis der zweiten Ableitung positiv, so handelt es sich um eine Linkskurve. Ist das Ergebnis negativ, so ist die Funktion rechtsgekrümmt. Bei anwendungsorientierten Funktionen hat f''(x) meist keine besondere Bedeutung. Setzt man f''(x)=0, erhält man den Wendepunkt.