Eine Ebene bildet mit den Koordinatenebenen normalerweise eine dreiseitige Pyramide, in welcher drei rechte Winkel auftauchen. Wählt man Grundseite, Höhe, Grundlinie, etc..geschickt, kann man das Volumen fast im Kopf rechnen.

Eine senkrechte quadratische Pyramide ist eine Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat ist, und deren Spitze genau über dem Mittelpunkt des Quadrats liegt. Die meisten Berechnung sind von der Schwierigkeit her akzeptabel (vor allem wenn die Grundfläche in der x1-x2-Ebene liegt), daher sieht man diese Pyramiden am häufigsten.

Vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene liegen) bilden eine dreiseitige Pyramide. Am häufigsten braucht man das Volumen davon. Das ist ein ziemliches Rumgerechne. Die Grundfläche berechnet sich über A=1/2*g*h. Die Grundlinie berechnet man über Abstand Punkt-Punkt. Die Höhe des Dreiecks berechnet man über Abstand Punkt-Gerade. Die Höhe der Pyramide berechnet man über Abstand Punkt-Ebene. Allerdings braucht man davor noch die Koordinatengleichung der Grundfläche.

Vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene liegen) bilden eine dreiseitige Pyramide. Am häufigsten braucht man das Volumen davon. Das geht ziemlich schnell, wenn man die Formel über das Kreuzprodukt verwenden darf. Diese Formel heißt „Spatprodukt“. Einen beliebigen Eckpunkt aussuchen, von hier aus die drei ausgehenden Vektoren aufstellen. Mit zwei dieser Vektoren ein Kreuzprodukt bilden, mit dem Ergebnis davon und dem dritten Vektor das Skalarprodukt bilden. Das Ergebnis durch 6 teilen. Fertig. Geht schnell.

Sämtliche Theorien der Vektorgeometrie fließen in Aufgaben zu Pyramiden ein. Pyramidenaufgaben sind also so eine Art Anwendungsaufgaben in der Vektorgeometrie.

Eine Ebenenschar (oder auch Scharebene) hat man natürlich, wenn in der Ebenengleichung ein Parameter auftaucht. Meistens hat man von dieser Ebene eine Koordinatenform gegeben, die einen Parameter enthält. In den meisten Fällen beschreibt die Ebenenschar einen Haufen von Ebenen, die alle um eine gemeinsame Schnittgerade rotieren. In diesem Fall nennt man die Ebeneschar auch „Ebenenbüschel“. (Das ist eigentlich immer der Fall, wenn der Parameter linear auftaucht, also nur „Zahl mal t“, jedoch kein „t²“). Mit der Ebenenschar kann man unglaublich tolle und lustige Sachen machen, die einem den Tag ungeheuerlich versüßen. Einiges davon machen wir hier.

Oft sucht man einen Punkt einer Gerade, der eine bestimmte Bedingung erfüllen soll. Z.B. soll dieser Punkt einen ganz bestimmten Abstand zu einer Ebene haben. Man schreibt dafür die Gerade in Punktform um (der Punkt enthält leider einen Parameter). Diesen Punkt (mit Parameter) nennt man nun „laufenden Punkt“ einer Gerade oder „Gerade in Einzelpunktform“ oder „fliehenden Punkt“ oder … Man bestimmt nun den Abstand des laufenden Punktes zu der Ebene, setzt das Ergebnis (welches den Parameter enthält) gleich dem gewünschten Abstand und erhält den Parameter.

Oft sucht man einen Punkt einer Gerade, der eine bestimmte Bedingung erfüllen soll. Z.B. soll dieser Punkt einen ganz bestimmten Abstand zu einem anderen, gegebenen, Punkt haben. Man schreibt dafür die Gerade in Punktform um (der Punkt enthält leider einen Parameter). Diesen Punkt (mit Parameter) nennt man nun „laufenden Punkt“ einer Gerade oder „Gerade in Einzelpunktform“ oder „fliehenden Punkt“ oder … Man bestimmt nun den Abstand des laufenden Punktes zum anderen gegebenen Punkt, setzt das Ergebnis (welches den Parameter enthält) gleich dem gewünschten Abstand und erhält den Parameter.

Hat man eine Gerade und eine Ebene gegeben, bei welchen in einem der beiden ein Parameter enthalten ist, so lautet die Frage meist nach dem „Schnittverhalten der Gerade mit der Ebene“ oder man soll die „gegenseitige Lage“ der beiden bestimmen. Bei diesem Schnitt Gerade Ebene gibt es zwei Vorgehensweisen: 1) Man berechnet das Skalarprodukt von Normalenvektor der Ebene mit Richtungsvektor der Geraden. Kommt nicht 0 raus, schneiden sich beide. Kommt 0 raus, sind beide parallel oder identisch. Letztgenannte Unterfälle unterscheidet man, indem man den Stützvektor der Gerade in die Ebene einsetzt und schaut, ob man eine wahre Aussage oder einen Widerspruch erhält. 2) Man schneidet Ebene und Gerade (trotz Parameter) und schaut zum Schluss wie man den Parameter wählen muss, um entweder einen Widerspruch (g und E sind parallel) oder eine wahre Aussage (g liegt in E) zu erhalten. Aus all diesen Bedingungen sollte man irgendwie den Parameter erhalten.

Eine der Formulierungen der letzten Jahre, die zwar immer gleich lautet, jedoch etwas verunglückt ist (man könnte auch sagen: „beschissen“). Gegeben sind eine Gerade „g“ und zwei Punkte „A“ und „B“, gesucht ist derjenige Punkt der Gerade „von welchem aus die Strecke AB unter einem rechten Winkel erscheint“. Gemeint ist: man sucht einen Punkt G der Gerade g derart, dass zwischen den Vektoren GA und GB ein rechter Winkel befindet. Vorgehensweise: Man schreibt die Gerade in Punktform um (laufender Punkt). Nun stellt man einen Vektor von G zu A auf und einen Vektor von G zu B (beides in Abhängigkeit vom Parameter). Das Skalarprodukt der Vektoren GA und GB muss Null ergeben. So erhält man eine Gleichung, aus welcher man den Parameter und damit den Punkt G erhält.

Bei Aufgaben, die einen Parameter enthalten, muss man die genauen Vorgehensweisen der Rechnungen kennen, also den Rechenweg. „Wie würde ich diese Aufgabe rechnen, wenn KEIN Parameter drin vorkommen würde.“ Genau gleich rechnet man jetzt MIT Parameter. Alles bleibt gleich, es wird nur eine Stufe hässlicher, da man ständig den Parameter mit sich rumschleppen muss. Meist läuft es darauf raus, dass zwei Sachen einen bestimmten Abstand haben sollen oder ein bestimmtes Schnittverhalten an den Tag legen sollten (parallel oder identisch etc..)

Vektorgeometrie (auch „analytische Geometrie“ genannt) befasst sich mit linearen Berechnungen in Räumen (meist im dreidimensionalen Raum). Die Objekte, mit denen man rechnet sind Punkte, Geraden, Ebenen, Kugeln. Diese untersucht man auf gemeinsame Punkte (Schnittpunkte) und berechnet Abstände. Das macht eigentlich schon 80% der Vektorgeometrie in der Schule aus.

Die Ereignismenge (=Ereignisraum) ist die Menge ALLER Ergebnisse, die bei einem Experiment rauskommen können. Die W.S. (=Wahrscheinlichkeit) der Ergebnismenge ist natürlich 100%=1. Die Ergebnismenge ist nur eine Auswahl von Ergebnissen die man erhalten hat, bzw. die man erhalten will. Deren W.S. liegt natürlich zwischen 0 und 1. Ein Gegenereignis besteht natürlich aus allem, was nicht Teil der gewünschten Ergebnismenge ist.

Eine absolute Häufigkeit ist eine Anzahl (also eine ganze Zahl wie 0; 1; 2; …). Eine relative Häufigkeit ist eine Prozentzahl (also eine Kommazahl zwischen 0 und 1, bzw in Prozent gerechnet: zwischen 0% und 100%). Eine kumulierte Häufigkeit (egal ob relativ oder absolut) ist eine aufsummierte Häufigkeit, beinhaltet also die Häufigkeiten von allen Werten die kleiner oder gleich sind.

Was ein Mittelwert ( = Durchschnitt = Erwartungswert ) ist, weiß wohl jeder. Man zählt alles zusammen und teilt das Ergebnis durch die Anzahl. (Der Erwartungswert ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Vorhersage für einen unbekannten Durchschnittswert). Ein Modus (oder Modalwert) ist derjenige Wert, der am häufigsten auftaucht. Der Median ist der Wert, der in der Mitte auftaucht, nachdem man alle Werte der Größe nach sortiert hat.

Es gibt eine Unzahl von Diagrammen. Die (meines Erachtens nach) wichtigsten sind: 1. Säulendiagramm ( = Balkendiagramm = Histogramm ), 2. Kreisdiagramm, 3. Boxplot (bzw. Boxplotdiagramm, zu deutsch: Kastengrafik). Hier erklären wir kurz, wie man vorgeht, um diese drei zu zeichnen.

Es gibt interessanterweise nur zwei Größen, die man braucht um eine recht gute Prognose für fast alle zufälligen Verteilungen des Universums anzugeben. Zum einen den Durchschnittswert ( = Erwartungswert ), zum anderen die Standardabweichung ( = Streuung ). Die Varianz ist eigentlich nur das Quadrat der Standardabweichung und braucht man im Prinzip eigentlich nie. (Beim Berechnen erhält man zuerst die Varianz, hzieht daraus die Wurzel und hat dann die wichtigere Standardabweichung).

Quartile sind Werte, die beim ersten, zweiten und dritten Viertel der Verteilung liegen. Die Wahrscheinlichkeit für die Werte von Null bis zum ersten Quartil überschreitet grad die Wahrscheinlichkeit von 25%. Die Wahrscheinlichkeit für die Werte von Null bis zum zweiten Quartil (dem Median) überschreitet grad die Wahrscheinlichkeit von 50%. Die Wahrscheinlichkeit für die Werte von Null bis zum dritten Quartil überschreitet grad die 75% Wahrscheinlichkeit. Je nachdem ob man Datenreihen oder die Daten in Klassen gegeben hat gibt es zwei Vorgehensweisen zur Bestimmung der Quartile. Quantile sind ebenfalls x-Werte jedoch nicht bei Wahrscheinlichkeiten von 25%, 50% oder 75%, sondern bei (fast) beliebigen anderen Prozentwerten.

Wenn man Wahrscheinlichkeiten (=W.S.) als Funktion angibt, ist das eine Wahrscheinlichkeitsfunktion oder auch Dichtefunktion. Bedingung: natürlich darf die Funktion keine negativen y-Werte haben (es gibt ja keine negativen W.S.) und die GESAMTE W.S. von minus Unendlich bis plus Unendlich muss genau 1 sein. (Das Integral der Funktion von minus Unendlich bis plus Unendlich muss 1 sein).

Als Intervall betrachten wir einen Autobahnabschnitt von 100km und schauen mit welcher Häufigkeit kein, ein oder zwei Stau auftreten. Die durchschnittliche Stauhäufigkeit ist natürlich gegeben. Da die W.S. dafür recht klein ist, verwendet man die Poisson-Verteilung. Interessant wird’s natürlich auch, wenn wir die Länge des Streckenabschnittes ändern (also nicht immer 100km betrachtet).