Man kann alles Mögliche spiegeln. Alles wird jedoch auf die drei Basisfälle zurückgeführt: Punkt an Punkt spiegeln, Punkt an Gerade spiegeln und Punkt an Ebene spiegeln und diese wiederum führt man auf Spiegeln Punkt an Punkt zurück. Spiegeln ist nicht so schwer.

Für die Winkelberechnung gibt es eigentlich nur eine einzige Formel. Für den Schnittwinkel von zwei Geraden verwendet man die Formel: cos(alpha) = |u*v| / |u|*|v|, wobei u und v die Richtungsvektoren der Geraden sind. Den Schnittwinkel von zwei Ebenen nimmt man die gleiche Formel, nur dass u und v die Normalenvektoren sind. Den Schnittwinkel zwischen einer Gerade und einer Ebene nimmt man die gleiche Formel, jedoch nicht den Kosinus, sondern den Sinus. (Manchmal hört man den Begriff „Neigungswinkel“. Das ist der Winkel zwischen einer Geraden oder Ebene und der Bodenebene [x1-x2-Ebene, die den Normalenvektor (1/0/0) hat.)

Will man zwei Vektoren multiplizieren, macht man das mit dem Skalarprodukt. Dafür multipliziert man die ersten beiden ersten Einträge der Vektoren, dann die beiden zweiten Einträge, und die dritten Einträge. Die drei Ergebnisse werden ADDIERT, das Ergebnis ist eine Zahl. Ist dieses Ergebnis Null, so stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander. Das ist die wichtigste Anwendung des Skalarprodukts.

Eine typische Frage ist, den vierten Punkt eines Parallelogramms zu berechnen. Das ist einfach. Annahme, man muss D berechnen. Man addiert den Vektor BC zum Punkt A und erhält D. (Das Ganze klappt natürlich auch beim Rechteck, Quadrat oder bei einer Raute, weil alle diese besondere Parallelogramme sind).

Liegt ein Punkt im Inneren eines Parallelogramms, stellt man vom Parallelogramm eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Nun macht man eine Punktprobe. Beide Parameter müssen zwischen 0 und 1 liegen. Soll der Punkt im Inneren eines Dreiecks liegen, stellt man ebenfalls eine Ebene auf und macht die Punktprobe. Diesmal muss die SUMME der Parameter zwischen 0 und 1 liegen.

Die Fläche eines Dreiecks kann man mit A=1/2*g*h berechnen. Die Grundlinie g berechnet man über Abstand Punkt-Punkt (z.B. von A zu B). Die Höhe im Dreieck berechnet man über Abstand Punkt Gerade (z.B. Punkt C zur Gerade AB). Beides in die Formel einsetzen und schon hat man den Flächeninhalt.

Die mit Abstand einfachste und schnellste Möglichkeit, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, geht über das Kreuzprodukt. Man stellt zwei Vektoren des Dreiecks auf, die vom gleichen Punkt ausgehen, multipliziert beide über Kreuz und erhält einen neuen Vektor. Von diesem bestimmt man den Betrag und das Ergebnis ist der gesuchte Flächeninhalt.

Schnitt Kugel Kugel: Beim Schnitt zweier Kugeln entsteht ein Schnittkreis. Im 3D gibt es keine Gleichung für einen Kreis, also muss man üblicherweise Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises berechnen. Dafür wendet man einen Trick an: Man löst ALLE Klammern aus beiden Kugelgleichungen auf (falls sie es nicht schon sind) und zieht die Kugelgleichungen von einander ab. Nun erhält man umgehend eine Koordinatengleichung der Ebene, in welcher der Schnittkreis liegt. Nun rechnet man mit dieser Schnittkreisebene und einer von den beiden Kugelgleichungen weiter, führt das Ganze also auf: „Schnitt Ebene-Kugel“ zurück.

Abstand Punkt Kugel: Endlich mal was Einfaches. Man berechnet eigentlilch nur den Abstand vom Punkt zum Kugelmittelpunkt. Nun vergleicht man das Ergebnis mit dem Kugelradius. Ist der Abstand kleiner als der Radius, muss der Punkt innerhalb einer Kugel liegen. Ist der Abstand größer als der Radius, liegt ein Punkt außerhalb einer Kugel. Den Abstand zur Kugel ist die Differenz vom Radius zum Abstand beider Punkt.

Abstand Gerade Kugel berechnet man, indem man das Ganze sofort auf Abstand Punkt-Gerade zurückführt. Man berechnet also den Abstand vom Mittelpunkt zur Gerade (mit welcher Methode auch immer) und zieht den Kugelradius ab. Ist der Abstand kleiner als der Kugelraidius, so schneiden sich Kugel und Gerade. Sind beide genau gleich, berühren sich Gerade und Kugel. Die Gerade ist also eine Tangente.

Abstand Kugel Kugel: Mal wieder was Einfaches. Man berechnet den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleicht diesen mit der Summe bzw. der Differenz beider Kugelradien. Ist der Abstand der Mittelpunkt größer als die Summe der Radien, liegen die Kugeln nebeneinander, der Abstand der Kugeln berechnet sich über Abstand der Kugeln, abzüglich der beiden Radien. Ist der Abstand der Mittelpunkte kleiner als die Differenz der Radien, liegt eine Kugel innerhalb der zweiten. Den Abstand der Kugeln berechnet man, indem man vom größeren Radius den kleinen Radius sowie den Abstand der Mittelpunkte abzieht .

Im Fall „Ebene berührt Kugel“ hat man es mit Tangentialebenen zu tun. Eine Tangentialebene ist eine Ebene, die eine Kugel berührt. Der Verbindungsvektor vom Mittelpunkt zum Berührpunkt ist der Normalenvektor der Tangentialebene. Zusammen mit dem Berührpunkt als Stützvektor, kann man eine Gleichung der Tangentialebene aufstellen.

Legt man von einem Punkt P, der außerhalb einer Kugel liegt, Tangenten an die Kugel, so bilden alle Berührpunkte einen Kreis, einen Brührkreis. Dieser Kreis liegt in einer Ebene, welche Polarebene heißt. Um eine Gleichung davon zu bestimmen, verwendet man am besten die Formel für die Tangentialgleichung. Da setzt man Mittelpunkt und den Punkt P ein und erhält eine Koordinatengleichung der Polarebene.

Ein Kreis hat in der 2-dimensionalen Ebene die Gleichung (x1-m1)^2+(x2-m2)^2=r^2, wobei „m1“ und „m2“ die Koordinaten des Mittelpunktes sind und „r“ natürlich der Radius. [Statt x1 und x2 kann man selbstverständlich auch x und y schreiben]. Für viele Rechnungen muss man die binomischen Formeln der Kreisgleichung auflösen.

Schnitt Gerade Kreis: Schneidet man beides, erhält man normalerweise zwei Punkte [Die Gerade heißt dann Sekante]. Falls die Gerade die Gerade berührt, hat man einen einzigen Schnittpunkt [es wäre ein Berührpunkt, die Gerade heißt dann Tangente]. Falls die Gerade am Kreis vorbeiläuft gibt es natürlich keinen Schnittpunkt [die Gerade heißt Passante]. Rechnerisch geht es so: Man löst in der Geraden nach x2 auf [bzw. nach y] und dieses in die Kreisgleichung ein. Nun löst man die Klammern auf und kommt auf eine quadratische Gleichung, die man mit der p-q-Formel oder a-b-c-Formel löst. Je nachdem, ob diese keine, eine oder zwei Lösungen liefert, hat man keinen, einen oder zwei Schnittpunkte.

Schnitt Kreis Kreis: Schneidet man zwei Kreise, erhält man keinen, einen oder zwei Schnittpunkte. [Gibt es genau einen Schnittpunkt ist praktisch jeder Kreis ein Berührkreis]. Rechnerisch geht man beim Schnitt von zwei Kreisen so vor, dass man in beiden Kreisgleichungen alle Klammern (mit binomischen Formeln?!) auflöst und danach beide Gleichungen voneinander abzieht. Man erhält die Gleichung einer Geraden. Diese Geraden schneidet man nun mit einem der beiden Kreise, entsprechend dem letzten Kapitel.

Eine Kugel hat die Gleichung (x1-m1)^2+(x2-m2)^2+(x3-m3)^2=r^2, wobei „m1“, „m2“ und „m3“ die Koordinaten des Mittelpunktes sind und „r“ natürlich der Radius. [Statt x1, x2 und x3 kann man selbstverständlich auch x, y und z schreiben]. Für viele Rechnungen muss man die binomischen Formeln der Kugelgleichung auflösen.

Schnitt Gerade Kreis: Schneidet man beides, erhält man normalerweise zwei Punkte [Die Gerade heißt dann Sekante]. Falls die Gerade die Gerade berührt, hat man einen einzigen Schnittpunkt [es wäre ein Berührpunkt, die Gerade heißt dann Tangente]. Falls die Gerade am Kreis vorbeiläuft gibt es natürlich keinen Schnittpunkt [die Gerade heißt Passante]. Rechnerisch geht es so: Man löst in der Geraden nach x2 auf [bzw. nach y] und dieses in die Kreisgleichung ein. Nun löst man die Klammern auf und kommt auf eine quadratische Gleichung, die man mit der p-q-Formel oder a-b-c-Formel löst. Je nachdem, ob diese keine, eine oder zwei Lösungen liefert, hat man keinen, einen oder zwei Schnittpunkte.

Schnitt Ebene Kugel: Schneidet man eine Ebene mit einer Kugel, so erhält man als Schnittfläche einen Kreis. Leider gibt es im dreidimensionalen keine Gleichung für einen Kreis. Man muss also im Normalfall „nur“ den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises berechnen. Den Schnittkreismittelpunkt erhält man, indem man eine Lotgerade auf E aufstellt die durch den Kugelmittelpunkt geht und diese Lotgerade dann mit E schneidet. Mit Hilfe von Kugelradius, Abstand von Kugelmittelpunkt zu Ebene und Pythagoras erhält man den Schnittkreisradius.

Kreise und Kugeln haben die Gleichung (x1-m1)^2+(x2-m2)^2=r^2 bzw. (x1-m1)^2+(x2-m2)^2+(x3-m3)^2=r^2. Man kann ganz viele, lustige Sachen damit machen. Bemerkung: Ein Kreis oder eine Kugel ist in Mathe immer ein Hohlkreis bzw. eine Hohlkugel (das Innere gehört also nie dazu).